Question

一正三棱錐A—BCD,其底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2a,過(guò)點(diǎn)B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中.(1)求周長(zhǎng)的最小值；(2)求最小周長(zhǎng)時(shí)的截面面積.

Answer 1

解析：如圖甲所示，設(shè)截面與AC、AD的交點(diǎn)分別為M、N，將側(cè)棱AB剪開(kāi)后，將側(cè)面展開(kāi)鋪平，當(dāng)B′、M′、N′、B在一條直線(xiàn)上時(shí)，截面周長(zhǎng)最短(如圖乙).

(1)在△B′C′M′和△A′M′N(xiāo)′中，∠B′M′C′=∠A′M′N(xiāo)′，由展開(kāi)圖可知∠A′M′N(xiāo)′=∠A′N(xiāo)′M′，

∴∠A′M′N(xiāo)′=∠A′C′D′=∠A′C′B′.

故有∠B′M′C′=∠M′C′B′，

∴B′M′=B′C′=a，同理N′B=a，

由△A′C′D′—△B′C′M′，

∴C′M′=，∴A′M′=，

∴，即，

∴M′N(xiāo)′=，故B′B=，即周長(zhǎng)的最小值為.

(2)由展開(kāi)的圖可知周長(zhǎng)最小時(shí)的截面△BMN為等腰三角形，且BM=BN=a，MN=3a[]4，∴MN上的高

，

∴S_△BMN=