Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，M，N分別為A₁B，B₁C₁的中點．
（1）求證BC∥平面MNB₁；
（2）求證平面A₁CB⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

證明：（1）∵BC∥B₁C₁，且B₁C₁?平面MNB₁，BC?平面MNB₁，
∴BC∥平面MNB₁；
（2）∵BC⊥AC，ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱
∴CB⊥平面ACC₁A₁．
∵BC?平面A₁CB
∴平面A₁CB⊥平面ACC₁A₁．
分析：（1）由直三棱柱的幾何特征，易得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，然后由線面平行的判定定理得到BC∥平面MNB₁；
（2）先由BC⊥AC，ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，可得CB⊥平面ACC₁A₁，利用面面垂直的判定定理可得平面A₁CB⊥平面ACC₁A₁．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握直三棱柱的幾何特征，熟練掌握空間直線與平面之間位置的判定、性質是解答本題的關鍵．