Question

已知四棱錐P—ABCD,它的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,且∠ABC=120°,又PC⊥平面ABCD,PC=a,E為PA的中點(diǎn).

(1)求證:平面EBD⊥平面ABCD;

(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離;

(3)求二面角A—BE—D的大小.

Answer 1

(1)證明:連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)EO.

∵E、O分別是PA、AC的中點(diǎn),

∴EO∥PC.

    又PC⊥平面ABCD,

∴EO⊥平面ABCD.

    又EO平面EBD,

∴平面EBD⊥平面ABCD.

(2)解：過O作OF⊥BC于點(diǎn)F,易證OF為O到平面PBC的距離.

    由于EO∥平面PBC,

∴OF的長(zhǎng)即為E到平面PBC的距離,OF=a,

    即點(diǎn)E到平面PBC的距離為a.

(3)解：過O作OH⊥BE于點(diǎn)H,連結(jié)AH,可證明∠OHA為所求二面角的平面角,

    在Rt△BOE中,OH===a,OA=a,

∴tan∠OHA=.

    故二面角A—BE—D的大小為arctan.