Question

【題目】如圖，矩形ABCD 中，AD⊥平面ABE，AE=FB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE，AC，BD交于G點

（1）求證：AE∥平面BFD
（2）求證：AE⊥平面BCE
（3）求三棱柱C﹣BGF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題意可知：G是AC中點，

∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中點．

在△ABC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD

（2）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC．

又∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，

∴AE⊥平面BCE

（3）∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCG，

∴FG⊥平面BCE，∴GF⊥平面BCF．

∵G是AC的中點，∴F是CE的中點，且FG= ，

∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．

∴在Rt△BCE中，BF=CF= ．

∴ ，

則 ．

【解析】（1）依題意可知G是AC中點，由BF⊥平面ACE，得CE⊥BF，再由BC=BE，可得F是EC中點，得到FG∥AE，由線面平行的判定得AE∥平面BFD．（2）由AD⊥平面ABE，AD∥BC，可得BC⊥平面ABE，進一步得到AE⊥BC．結合BF⊥平面ACE，得CE⊥BF，由線面垂直的判定得AE⊥平面BCE；（3）由已知可得GF⊥平面BCF．解直角三角形求得△BCF的面積，然后利用等積法求得三棱柱C﹣BGF的體積．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．