Question

設橢圓C₁：

x2

5

+

y2

4

=1的左、右焦點分別是F₁、F₂，下頂點為A，線段OA的中點為B（O為坐標原點），如圖．若拋物線C₂：y=mx²-n（m＞0，n＞0）與y軸的交點為B，且經過F₁，F₂點．
（Ⅰ）求拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）設M（0，-

4

5

），N為拋物線C₂上的一動點，過點N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知n=1，再由F₁（-1，0），F₂（1，0），故m=1，由此可求出拋物線C₂的方程．
（2）先寫出直線PQ的方程，代入橢圓方程整理得關于x的一元二次方程．然后利用根與系數的關系結合題設條件進行求解．最后利用求函數最值的方法即可求得△MPQ面積的最大值．

解答：解：（1）由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故n=1．
又F₁（-1，0），F₂（1，0），故m=1．
所以拋物線C₂的方程為：y=x²-1（15分）
（2）設N（t，t²-1），
由于y'=2x知直線PQ的方程為：y-（t²-1）=2t（x-t）．
即y=2tx-t²-1．（7分）
代入橢圓方程整理得：4（1+5t²）x²-20t（t²+1）x+5（t²+1）²-20=0，
△=400t²（t²+1）²-80（1+5t²）[（t²+1）²-4]=80（-t⁴+18t²+3），x1+x2=

5t(t2+1)

1+5t2

，x1x2=

5(t2+1)2-20

4(1+5t2)

，
故|PQ|=

1+4t2

|x1-x2|=

1+4t2

.

(x1+x2)2-4x1x2

=

5 • 1+4t2 • -t4+18t2+3

1+5t2

．（10分）
設點M到直線PQ的距離為d，
則d=

|+ 4 5 -t2-1|

1+4t2

=

|t2+ 1 5 |

1+4t2

．（12分）
所以，△MPQ的面積
S=

1

2

|PQ|•d=

1

2

5 • 1+4t2 • -t4+18t2+3

1+5t2

•

t2+ 1 5

1+4t2

=

5

10

-t4+18t2+3

=

5

10

-(t2-9)2+84

≤

5

10

84

=

105

5

（14分）
當t=±3時取到“=”，經檢驗此時△＞0，滿足題意．
綜上可知，△MPQ的面積的最大值為

105

5

．（15分）

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系和綜合應用，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．