Question

已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）若是的一個極值點(diǎn)，且點(diǎn)，滿足條件：.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求證：點(diǎn)，，是三個不同的點(diǎn)，且構(gòu)成直角三角形．

 

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）參考解析

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并計算即所求切線方程的斜率，又過點(diǎn).即可求出結(jié)論.

（2）（ⅰ）由（1）得到的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)，即得到的值.

（ⅱ）需求證：點(diǎn)，，是三個不同的點(diǎn)，通過分類每兩個點(diǎn)重合，利用已知條件即方程的根的個數(shù)來判定即可得到三點(diǎn)是不同點(diǎn)的點(diǎn).通過向量的數(shù)量積可得到三點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形.

（1）， 2分

，又， 4分

所以曲線在處的切線方程為，

即． 5分

（2）（ⅰ）對于，定義域為．

當(dāng)時，，，∴；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，，，∴， 8分

所以存在唯一的極值點(diǎn)，∴，則點(diǎn)為． 9分

（ⅱ）若，則，，

與條件不符，從而得．

同理可得． 10分

若，由，此方程無實數(shù)解，

從而得． 11分

由上可得點(diǎn)，，兩兩不重合．

又

從而，點(diǎn)，，可構(gòu)成直角三角形． 14分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.函數(shù)的極值.3.分類討論的數(shù)學(xué)思想.4.向量的數(shù)量積.5.運(yùn)算能力.