Question

如圖的幾何體中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB=2，F為CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）通過取CE的中點G，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的性質及線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用面面垂直的判定定理在平面BCE內找一條直線與平面CDE垂直即可證明；
（3）取正三角形ACD的邊AD上的高CM，證明CM⊥平面ABED，再利用三棱錐的體積公式計算即可．

解答：證明：（1）取CE的中點G，連接FG、BG．
∵F為CD的中點，∴GF∥DE且GF=

1

2

DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE．
（2）∵△ACD為等邊三角形，F為CD的中點，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥CD．
又CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）取AD的中點M，連接CM，由△ACD為等邊三角形，∴CM⊥AD．
∵平面ACD⊥平面ABED，∴CM⊥平面ABED．
∵AD=2，∴CM=

3

．
由直角梯形ABED得S=

(1+2)×2

2

=3，
∴V_{三棱錐C-ABED}=

1

3

×3×

3

=

3

．

點評：熟練掌握線面、面面平行與垂直的判定定理和性質定理及棱錐的體積計算公式是解題的關鍵．