Question

如圖的幾何體中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F為CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求直線CE與平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取CE的中點G，連結FG，BG，先證明四邊形GFAB為平行四邊形，可得AF∥BG，再利用線面平行的判定方法，即可證明結論；
（2）取AD的中點H，連結CH，EH，證明∠CEH為CE與平面ADE所成角，再利用正弦函數即可求得．
解答：（1）證明：取CE的中點G，連結FG，BG．
∵F為CD的中點，
∴GF∥DE且GF=DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，
∴GF∥AB． …（2分）
又AB=DE，∴GF=AB． 
∴四邊形GFAB為平行四邊形，∴AF∥BG                         …（4分）
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．                                         …（6分）
（2）解：取AD的中點H，連結CH，EH．
∵△ACD為等邊三角形，∴CH⊥AD
又DE⊥平面ACD，CH?面ACD
∴CH⊥DE
∵AD∩DE=D
∴CH⊥平面ADE 
∴∠CEH為CE與平面ADE所成角．…（8分）
不妨設AD=2，則DE=CD=2，CE=2，CH=．
在Rt△CHE中，sin∠CEH==
∴直線CE與面ADE所成角的正弦值為．…（12分）
點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，掌握線面平行的判定方法是關鍵．