Question

已知：（

a

+3

b

）⊥（7

a

-5

b

），（

a

-4

b

）⊥（7

a

-2

b

）．
（1）證明|

a

|=|

b

|；
（2）求向量

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）從垂直條件入手，找出模的關系．由題意可得，兩向量的數量積為零，展開整理可得，

a

2=

b

2，從而得出|

a

|=|

b

|；
（2）由（1）模的關系，再用數量積的定義求夾角．

解答：解：（1）由題意可得，：（

a

+3

b

）•（7

a

-5

b

）=0，（

a

-4

b

）•（7

a

-2

b

）=0．
即7

a

2+16

a

•

b

-15

b

2=0，7

a

2-30

a

•

b

+8

b

2=0，
整理可得，2

a

•

b

=

b

2，代入可得 

a

2=

b

2
∴|

a

|=|

b

|；
（2）cosα=

a • b

| a || b |

=

1 2 b 2

b 2

=

1

2

∵0°≤α≤180°  所以向量

a

與

b

的夾角的夾角為60⁰．

點評：本題主要考查了向量的數量積得性質得應用，正弦定理與余弦定理的綜合應用，基本不等式在求解最值中的應用．