Question

數列中，a_n＞0，a_n≠1，且an+1=

3an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）證明：a_n≠a_n+1；
（2）若a1=

3

4

，計算a₂，a₃，a₄的值，并求出數列的通項公式；
（3）若a₁=a，求實數p（p≠0），使得數列{

p+an

an

}成等比數列．

Answer 1

分析：（1）采用反證法證明，先假設a_n=a_n+1，代入an+1=

3an

2an+1

化簡后，可求出a_n的值與a_n＞0，a_n≠1矛盾，所以假設錯誤，原結論正確；
（2）把n=1代入an+1=

3an

2an+1

中，由a₁的值即可求出a₂的值，把n=2代入an+1=

3an

2an+1

中，由a₂的值即可求出a₃的值，把n=4代入an+1=

3an

2an+1

中，由a₃的值即可求出a₄的值，把已知的等式去分母后，在變形后的式子等號兩邊都除以3a_na_n+1，變形后得到數列{

1

an

-1}是等比數列，找出首項和公比寫出此等比數列的通項公式，化簡后即可得到數列的通項公式a_n；
（3）設數列{

p+an

an

}成等比數列，公比為q，根據等比數列的定義可知第n+1項與第n項的比值等于公比q，化簡后根據p不為0，利用多項式為0時，各項的系數都為0即可求出p與q的值．

解答：解：（1）若a_n=a_n+1，即

3an

2an+1

=an，
得a_n=0或a_n=1與題設矛盾，
∴a_n≠a_n+1；
（2）由a₁=

3

4

，令n=1得：a₂=

3× 3 4

2× 3 4 +1

=

9

10

，
令n=2得：a₃=

3× 9 10

2× 9 10 +1

=

27

28

，令n=3得：a₄=

3× 27 28

2× 27 28 +1

=

81

82

，
由

1

an+1

=

1

3

(

1

an

)+

2

3

，得

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∴數列{

1

an

-1}是首項為

1

a1

-1=

1

3

，公比為

1

3

的等比數列，
∴

1

an

-1=(

1

3

)n，得an=

3n

3n+1

；
（3）設數列{

p+an

an

}成等比數列，公比為q，
則

p+an+1 an+1

p+an an

=

(2p+3)an+p

3(p+an)

=q，
即（2p-3q+3）a_n=3pq-p，
由p≠0，∴a_n不是常數列，
∴

2p-3q+3=0 p(3q-1)=0

，

p=-1 q= 1 3

，
此時，{

p+an

an

}是公比為

1

3

的等比數列．

點評：此題考查學生會利用反證法進行證明，掌握等比數列的確定方法，靈活運用等比數列的通項公式及數列的遞推式化簡求值，是一道中檔題．