Question

（19）已知函數(shù)f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a.

（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

（19）解：（Ⅰ）f '(x)＝－3x²＋6x＋9．

令f '(x)<0，解得x<－1或x>3，

     所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－1），（3，＋∞）．

（Ⅱ）因為f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

所以f(2)>f(－2)．

因為在（－1，3）上f '(x)>0，所以f(x)在[－1，2]上單調(diào)遞增，又由于f(x)在[-2，-1]上單調(diào)遞減，因此

f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值和最小值.

于是有22＋a＝20，解得a＝－2．

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2.

因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7．