Question

(1)①證明：兩角和的余弦公式C_(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；

②由C_(α＋β)推導兩角和的正弦公式S_(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.

(2)已知cos α＝－，α∈(π，π)，tan β＝－，β∈(，π)，求cos(α＋β)．

Answer 1

解：(1)證明：①如圖，在直角坐標系xOy內作單位圓O，并作出角α，β與－β， 使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P₁，終邊交⊙O于點P₂；角β的始邊為OP₂，終邊交⊙O于點P₃；角－β的始邊為Ox，終邊交⊙O于點P₄，則P₁(1，0)，P₂(cos α，sin α)，P₃(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P₄(cos(－β)，sin(－β))．

由P₁P₃＝P₂P₄及兩點間的距離公式，得

[cos(α＋β)－1]²＋sin²(α＋β)

＝[cos(－β)－cos α]²

＋[sin(－β)－sin α]²，

展開并整理，得2－2cos (α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．

∴cos(α＋β)

＝cos αcos β－sin αsin β.

②由①易得，cos(－α)＝sin α，sin(－α)＝cos α.

sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sin αcos β＋cos αsin β.

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.

(2)∵α∈(π，π)，cos α＝－.

∴sin α＝－.∵β∈(，π)，tan β＝－.

∴cos β＝－，sin β＝.

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝(－)×(－)－(－)×＝.