Question

（1）證明兩角和的余弦公式C_α+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
（2）已知△ABC的面積S=

1

2

，

AB

•

AC

=3，且cosB=

3

5

，求cosC．

Answer 1

分析：（1）如圖，在直角坐標系xOy內做單位圓O，并作出角α、β與-β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P₁，終邊交⊙O于P₂；角β的始邊為OP₂，終邊交⊙O于P₃；角-β的始邊為OP₁，終邊交⊙O于P₄．可得P₁，P₂，P₃，P₄的坐標，利用P₁P₃=P₂P₄及兩點間的距離公式，即可證得結論．
（2）由S=

1

2

bcsinA=

1

2

＞0，

AB

•

AC

=bccosA=3可求得sinA=

10

10

，cosA=

3 10

10

，又cosB=

3

5

，可求得sinB=

4

5

，利用兩角和的余弦即可求得cosC．

解答：解：（1）如圖，在直角坐標系xOy內做單位圓O，并作出角α、β與-β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P₁，終邊交⊙O于P₂；角β的始邊為OP₂，終邊交⊙O于P₃；角-β的始邊為OP₁，終邊交⊙O于P₄．
則P₁（1，0），P₂（cosα，sinα），
P₃（cos（α+β），sin（α+β）），P₄（cos（-β），sin（-β））   …（4分）
由P₁P₃=P₂P₄及兩點間的距離公式，得
[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²…（6分）
展開并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．…（8分）
（2）由題意，設△ABC的角B、C的對邊分別為b、c
則S=

1

2

bcsinA=

1

2

＞0，

AB

•

AC

=bccosA=3＞0
∴A∈（0，

π

2

），cosA=3sinA
又sin²A+cos²A=1，
∴sinA=

10

10

，cosA=

3 10

10

…（10分）
由題意，cosB=

3

5

，sinB=

4

5

…（11分）
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

10

10

，
故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-

10

10

…（14分）

點評：本題考查兩角和與差的余弦函數，考查平面向量數量積的運算，利用任意角的三角函數的定義證明兩角和的余弦公式C_α+β是難點，屬于中檔題．