Question

（本小題滿分12分） 

（Ⅰ）1證明兩角和的余弦公式；

      2由推導兩角和的正弦公式.

（Ⅱ）已知，求

Answer 1

解：(1)①如圖，在執教坐標系xOy內做單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于P4.

則P1(1,0),P2(cosα,sinα)

P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))

由P1P3＝P2P4及兩點間的距離公式，得

[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2

展開并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分 

②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα

sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

           ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

           ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分

(2)∵α∈(π,),cosα＝－

   ∴sinα＝－

   ∵β∈(，π),tanβ＝－

   ∴cosβ＝－,sinβ＝

   cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

              ＝(－)×(－)－(－)× 

              ＝