Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．求證：
（1）B₁D⊥平面A₁C₁B；
（2）B₁D與平面A₁C₁B的交點設為H，則點H是△A₁C₁B的重心．

Answer 1

【答案】分析：（1）連B₁D₁，要B₁D⊥平面A₁C₁B，只需證明直線B₁D垂直平面A₁C₁B內的，兩條相交直線A₁C₁、A₁B即可；
（2）B₁D與平面A₁C₁B的交點設為H，連A₁H，BH，C₁H，由A₁B₁=BB₁=C₁B₁，得A₁H=BH=C₁H，因此點H為△A₁BC₁的外心，類比推出，點H是△A₁C₁B的垂心．
解答：證明：（1）連B₁D₁，B₁D₁⊥A₁C₁，又DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁，
所以DD₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥面D₁DB₁，因此A₁C₁⊥B₁D．
同理可證B₁D⊥A₁B，所以B₁D⊥平面A₁C₁B．（6分）
（2）連A₁H，BH，C₁H，由A₁B₁=BB₁=C₁B₁，得A₁H=BH=C₁H，因此點H為△A₁BC₁的外心．
又△A₁BC₁為正三角形，所以H是△A₁BC₁的中心，
也是△A₁BC₁的重心．（12分）
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．