Question

已知函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x）+f（1-x）=．
（Ⅰ）求f（）和f（）+f（）（n∈N^*）的值；
（Ⅱ）若數列 滿足an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），求列數{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若數列{b_n}滿足a_nb_n=，S_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1，如果不等式2kS_n＜b_n恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）令x=，則，
∴．
令，則，
即，
（Ⅱ）∵，①
∴，②
由（Ⅰ），知，
∴①+②，得2a_n=（n+1）×，
∴．
（Ⅲ）∵，a_nb_n=，
∴，=，
∴S_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1
=+…+
=（）+（）+（）+…+（）
=
=．
∵2kS_n＜b_n，
∴，
解得．
∵
=
=＞1．
∴{}單調遞減數列，
∵====0，
∴k＜0．
分析：（Ⅰ）令x=，能求出f（）．令，能求出f（）+f（）（n∈N^*）的值．
（Ⅱ）由，知，由，得2a=（n+1）×，由此能求出{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）由，a_nb_n=，知，=，故S_n=．由2kS_n＜b_n，知．由作商法知{}單調遞減，由，知k＜0．
點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．