Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 （t為參數，0≤α＜π），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，并取相同的長度單位，建立極坐標系．曲線C1：p=1．
（1）若直線l與曲線C1相交于點A，B，點M（1，1），證明：|MA||MB|為定值；
（2）將曲線C1上的任意點（x，y）作伸縮變換 后，得到曲線C2上的點（x'，y'），求曲線C2的內接矩形ABCD周長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵曲線C1：p=1，∴曲線C1：x2+y2=1．

聯立 ，得t2+2t（cosα+sinα）+1=0，

∴|MA||MB|=|t1t2|=1．

（2）解：將曲線C1上的任意點（x，y）作伸縮變換 ，

伸縮變換后得C2： ．

其參數方程為： ．

不妨設點A（m，n）在第一象限，

由對稱性知：周長為 = ，（ 時取等號），

∴曲線C2的內接矩形ABCD周長的最大值為8．

【解析】（1）求出曲線C1：x2+y2=1．直線l的參數方程代入，得t2+2t（cosα+sinα）+1=0，由此能證明|MA||MB|為定值．（2）將曲線C1上的任意點（x，y）伸縮變換后得C2： ．由此能求出曲線C2的內接矩形ABCD周長的最大值．