Question

（2012•吉林二模）如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（Ⅰ）求證：平面BCD⊥平面ABC
（Ⅱ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅲ）求四面體B-CDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過面ABC⊥面ACDE，證明DC⊥面ABC，然后利用直線與平面垂直證明平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅱ）取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，證明EA

∥

.

PF，推出AF∥EP，然后利用直線與平面平行的判定定理證明AF∥面BDE．
（Ⅲ）說明四面體B-CDE的高為BA，求出BA，求出S_△CDE，然后求解V_E-CDE即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵面ABC⊥面ACDE，面ABC∩面ACDE=AC，CD⊥AC，
∴DC⊥面ABC，（2分）
又∵DC?面BCD，
∴平面BCD⊥平面ABC．（4分）
（Ⅱ）證明：取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，則PF 

∥

.

 

1

2

DC，
又∵EA

∥

.

1

2

DC，
∴EA

∥

.

PF，（6分）
∴四邊形AFPE是平行四邊形，
∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE，
∴AF∥面BDE．（8分）
（Ⅲ）解：∵BA⊥AC，面ABC∩面ACDE=AC，
∴BA⊥面ACDE．
∴BA就是四面體B-CDE的高，且BA=2．…（10分）
∵DC=AC=2AE=2，AE∥CD，
∴S梯形ACDE=

1

2

(1+2)×2=3，S△ACE=

1

2

×1×2=1，
∴S_△CDE=3-1=2，
∴VE-CDE=

1

3

×2×2=

4

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計(jì)算能力．