Question

【題目】在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓滿足以下性質：①線段的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓；②銳角的最小覆蓋圓就是其外接圓.已知曲線：，，，，為曲線上不同的四點.

（Ⅰ）求實數的值及的最小覆蓋圓的方程；

（Ⅱ）求四邊形的最小覆蓋圓的方程；

（Ⅲ）求曲線的最小覆蓋圓的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意，,利用三角形的外接圓即最小覆蓋圓可得結果；

（Ⅱ）的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓，易知A,C均在圓內；

（Ⅲ）由題意，曲線為中心對稱圖形. 設，轉求的最大值即可.

解：（Ⅰ）由題意，.

由于為銳角三角形，外接圓就是的最小覆蓋圓.

設外接圓方程為,

則, 解得.

所以 的最小覆蓋圓的方程為 .

(II) 因為的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓，

所以的最小覆蓋圓的方程為.

又因為，所以點A,C都在圓內.

所以四邊形的最小覆蓋圓的方程為.

(III)由題意，曲線為中心對稱圖形.

設，則.

所以，且.

故 ，

所以 當時，，

所以曲線的最小覆蓋圓的方程為.