Question

設a,b,x,y∈R,且a²+b²=1,x²+y²=1,求證:|ax+by|≤1.?

Answer 1

證明:要證|ax+by|≤1成立,

只需證(ax+by)²≤1.?

也就是要證a²x²+2abxy+b²y²≤1.?

∵a²+b²=1,x²+y²=1,?

∴只需證a²x²+2abxy+b²y²≤(a²+b²)(x²+y²),

即證b²x²-2abxy+a²y²≥0.?

也就是要證(bx-ay)²≥0.?

∵(bx-ay)²≥0顯然成立,∴原不等式成立.