Question

已知函數f（x）=

1

24

ax³-bx²+（2-b）x+1（x＞0）在x=x₁和x=x₂處取得極值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（Ⅰ）若a，b均為正整數，求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）若z=a-12b，求z的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對函數f（x） 求導，利用條件可得x₁，x₂是f′（x）=0的根，結合根的分布可得

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

求出a，b，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解函數的單調區間．
（II）結合（I）可找出a，b所表示的平面區域，利用線性規劃的知識，求目標函數Z的取值范圍．

解答：解：由題意得f′(x)=

1

8

ax2-2bx+2-b，（1分）
∵0＜x₁＜1＜x₂＜2，
∴

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0.

即

2-b＞0 1 8 a-2b+2-b＜0 1 2 a-4b+2-b＞0.

整理得

2-b＞0 a-24b+16＜0 a-10b+4＞0

（3分）
（Ⅰ）由a，b均為正整數得a=7，b=1．（5分）
即f′(x)=

7

8

x2-2x+1，令f′(x)=

7

8

x2-2x+1＞0，
解得：x＜

8-2 2

7

，或x＞

8+2 2

7

．
所以函數f（x）的單調增區間為(-∞，

8-2 2

7

)，(

8+2 2

7

，+∞)．（8分）
（Ⅱ）由已知得

2-b＞0 a-24b+16＜0 a-10b+4＞0

此不等式組表示的區域為平面aOb上三條直線：2-b=0，a-24b+16=0，a-10b+4=0所圍成的△ABC的內部．（10分）
其三個頂點分別為：A(

32

7

，

6

7

)，B(16，2)，C(32，2)，z在這三點的值依次為-

40

7

，-8，8，
所以z的取值范圍為（-8，8）．（12分）
（無圖形，扣1分）

點評：本題是一道綜合性較好的試題，綜合考查了函數的極值、二次方程的實根分布問題，線性規劃中求目標函數的取值范圍，解決問題的關鍵是由極值問題轉化為關于a，b的二元一次不等式組，確定a，b所表示的平面區域，進而求目標函數Z的取值范圍．