Question

甲、乙兩間商店購進同一種商品的價格均為每件30元，銷售價均為每件50元．根據前5年的有關資料統計，甲商店這種商品的年需求量ξ服從以下分布：

ξ	10	20	30	40	50
P	0.15	0.20	0.25	0.30	0.10

乙商店這種商品的年需求量η服從二項分布η～B（40，0.8）．
若這種商品在一年內沒有售完，則甲商店在一年后以每件25元的價格處理；乙商店一年后剩下的這種商品第1件按25元的價格處理，第2件按24元的價格處理，第3件按23元的價格處理，依此類推．今年甲、乙兩間商店同時購進這種商品40件，根據前5年的銷售情況，請你預測哪間商店的期望利潤較大？

Answer 1

解：根據題意，甲商店這種商品的年需求量數學期望為：
Eξ=10×0.15+20×0.20+30×0.25+40×0.30+50×0.10=30…（4分）
∴甲商店的期望利潤為30×（50-30）-（40-30）×（30-25）=550（元） …（6分）
乙商店這種商品的需求量的數學期望為：Eη=40×0.8=32…（8分）
依題意，一年后乙商店剩下的商品虧本金額是以30-25=5為首項，公差為1，項數為40-32=8的等差數列
∴乙商店剩下的商品虧本金額為8×5+×1=68（元） …（12分）
∴乙商店的期望利潤為32×（50-30）-68=572（元）＞550（元）…（13分）
答：乙商店的期望利潤較大．…（14分）
分析：根據數學期望公式求得甲商店這種商品的年需求量數學期望為：Eξ=30，從而求得甲商店的期望利潤；由于乙商店這種商品的年需求量η服從二項分布η～B（40，0.8），故可求乙商店這種商品的需求量的數學期望，進一步可得乙商店的期望利潤，通過比較，可知乙商店的期望利潤較大．
點評：本題主要考查數學期望公式，進而計算期望利潤，屬于基礎題．