Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的大�。�

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）先證明直線AB₁垂直平面A₁BD內的兩條相交直線BD、A₁B，即可證明AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）設AB₁與A₁B交于點C，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，連接AF，
說明∠AFG為二面A-A₁B-B的平面角，然后求二面角A-A₁D-B的大小．
法二：取BC中點O，連接AO，以0為原點，

OB

，

OO1

，

OA

的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，求出

AB1

•

BD

=0，

AB1

•

BA1

=0，
即可證明AB₁⊥平面A₁BD．
求出平面A₁AD的法向量為

n

=（x，y，z），

AB1

為平面A₁BD的法向量，
然后求二者的數量積，求二面角A-A₁D-B的大�。�

解答：解：法一：（Ⅰ）取BC中點O，連接AO、
∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，
連接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O、D分別為BC、CC₁的中點，
∴B₁O⊥BD，
∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）設AB₁與A₁B交于點G，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，連接AF，由（Ⅰ）得AB₁⊥平面A₁BD，
∴∠AFG為二面A-A₁D-B的平面角，
在△AA₁D中，由等面積法可求得AF=

4 5

5

，
又∵AG=

1

2

AB1=

2

，
∴sin∠AFG=

AG

AF

=

2

4 5 5

=

10

4

，
所以二面角A-A₁D-B的大小為arcsin

10

4

．

法二：（Ⅰ）取BC中點O，連接AO．
∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，
取B₁C₁中點O₁，以0為原點，

OB

，

OO1

，

OA

的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（-1，1，0），A₁（0，2，

3

），A（0，0，

3

），B₁（1，2，0），
∴

AB1

=(1，2，-

3

)，

BD

=(-2，1，0)，

BA1

=(-1，2，

3

)
∵

AB1

•

BD

=-2+2+0=0，

AB1

•

BA1

=-1+4-3=0，
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）設平面A₁AD的法向量為

n

=（x，y，z），

AD

=(-1，1，-

3

)，

AA1

=(0，2，0)．
∵

n

⊥

AD

，

n

⊥

AA1

，
∴

n • AD =0 n • AA1 =0

∵

-x+y- 3 =0 2y=0

∴

y=0 x=- 3 z

令z=1得

n

=（-

3

，0，1）為平面A₁AD的一個法向量．
由（Ⅰ）知AB₁⊥A₁BD．
∴

AB1

為平面A₁BD的法向量．
cos＜

n

，

AB1

＞=

n • AB1

| n || AB1 |

=

- 3 - 3

2•2 2

=-

6

4

．
∴二面角A-A₁D-B的大小為arccos

6

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．