Question

定義在[-1，1]上的偶函數f（x），已知當x∈[0，1]時的解析式為f（x）=-2^2x+a2^x （a∈R）．
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值h（a）．

Answer 1

分析：（1）設x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，由已知表達式可求得f（-x），根據偶函數的性質可得f（x）=f（-x），從而得到答案；
（2）令t=2^x，則t∈[1，2]，則原函數變為關于t的二次函數，按照對稱軸與區間的位置關系分三種情況討論即可求得最大值h（a）．

解答：解：（1）設x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，f（-x）=-2^-2x+a•2^-x，
又f（x）為偶函數，所以f（x）=f（-x）=-2^-2x+a•2^-x，
故f（x）=-2^-2x+a•2^-x，x∈[-1，0]．
（2）f（x）=-2^2x+a•2^x，x∈[0，1]．令t=2^x，則t∈[1，2]，
所以g（t）=at-t²=-(t-

a

2

)2+

a2

4

，
①當

a

2

＜1，即a＜2時，h（a）=g（1）=a-1；
②當1≤

a

2

≤2，即2≤a≤4時，h（a）=g（

a

2

）=

a2

4

；
③當

a

2

＞2，即a＞4時，h（a）=g（2）=2a-4．
綜上所述，h（a）=

a-1，a＜2 a2 4 ，2≤a≤4 2a-4，a＞4

．

點評：本題考查函數奇偶性的應用及二次函數在閉區間上的最值問題，考查分類討論思想，屬中檔題．