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設f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數,且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零.
(1)證明f(x)在[-1,1]上是減函數;
(2)如果f(x-c),f(x-c2)的定義域的交集為空集,求實數c的取值范圍;
(3)證明:若-1≤c≤2,則f(x-c),f(x-c2)存在公共的定義域,并求出這個公共的定義域.
分析:(1)由已知對任意的x1、x2∈[-1,1],且x1≠x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
,從而x1-x2與f(x1)-f(x2)異號,所以f(x)在[-1,1]上是減函數.
(2)由f(x-c)的定義域得f(x-c2)的定義域,根據題目條件可得關于c的不等式,通過求解可得c的取值范圍.
(3)有(2)問可知:當-1≤c≤2時,f(x-c),f(x-c2)存在公共的定義域.若c2-1≤c+1,即1≤c≤2或-1≤c≤0時,c2+1≥c+1,c2-1≥c-1,此時的交集是[c2-1,c+1];若0<c<1,則c2+1<c+1,c2-1<c-1,此時的交集是[c-1,c2+1]
解答:解:(1)由已知對任意的x1、x2∈[-1,1],且x1≠x2
都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
,從而x1-x2與f(x1)-f(x2)異號,
所以f(x)在[-1,1]上是減函數.
(2)因為f(x-c)的定義域是[c-1,c+1],f(x-c2)的定義域是[c2-1,c2+1],
因為以上兩個集合的交集為空集,所以c2-1>c+1或c2+1<c-1解得:c>2或c<-1
(3)因為c2+1>c-1恒成立,有(2)問可知:當-1≤c≤2時,
f(x-c),f(x-c2)存在公共的定義域.
若c2-1≤c+1,即1≤c≤2或-1≤c≤0時,c2+1≥c+1,c2-1≥c-1,此時的交集是[c2-1,c+1],即為公共的定義域;
若0<c<1,則c2+1<c+1,c2-1<c-1,此時的交集是[c-1,c2+1],即為公共的定義域.
點評:本題考查了函數單調性的判斷與證明,函數的定義域及其求法,注意對題目條件的靈活轉化,是個中檔題.
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34
,2)
34
,2)

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