Question

已知三個正數a，b，c，滿足2a≤b+c≤4a，-a≤b-c≤a，則

b

c

+

c

b

的取值范圍（　　）

• A．(0，

  10

  3

  ]
• B．[2，

  10

  3

  ]
• C．[2，+∞）
• D．[3，

  10

  3

  ]

Answer 1

分析：先利用線性規劃知識求出

c

b

的取值范圍，然后運用基本不等式即可求出

b

c

+

c

b

的取值范圍．

解答：解：滿足條件的點（b，c）構成的可行域如圖所示：為四邊形ABDC內的部分，包括邊界．

由

b+c=2a b-c=a

解得A（

3

2

a，

1

2

a），
由

b+c=2a b-c=-a

解得B（

1

2

a，

3

2

a）．
則k_OA≤

c

b

≤k_OB，即

1

3

≤

c

b

≤3．
令t=

c

b

，則t∈[

1

3

，3]．
所以

b

c

+

c

b

=t+

1

t

≥2，當且僅當t=1時取等號，
當t=

1

3

時，t+

1

t

=

10

3

，當t=3時，t+

1

t

=

10

3

，所以t+

1

t

的最大值為

10

3

，
故t+

1

t

的取值范圍為[2，

10

3

]．
故選B．

點評：本題考查線性規劃知識及利用基本不等式求函數最值問題，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．