Question

已知以點A（-1，2）為圓心的圓與直線l₁：x+2y+7=0相切．過點B（-2，0）的動直線l與圓A相交與M、N兩點，Q是MN的中點，直線l與l₁相交于點P．
（I）求圓A的方程；
（Ⅱ）當MN=2

19

時，求直線l的方程；
（Ⅲ）

BQ

•

BP

是否為定值，如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設出圓A的半徑，根據以點A（-1，2）為圓心的圓與直線l₁：x+2y+7=0相切．點到直線的距離等于半徑，我們可以求出圓的半徑，進而得到圓的方程；
（II）根據半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，我們可以結合直線l過點B（-2，0），求出直線的斜率，進而得到直線l的方程；
（III）由直線l過點B（-2，0），我們可分直線的斜率存在和不存在兩種情況，分別討論

BQ

•

BP

是否為定值，綜合討論結果，即可得到結論．

解答：解：設圓A的半徑為R，由于圓A與直線l₁：x+2y+7=0相切，
∴R=

|-1+4+7|

5

=2

5

…．（2分）
∴圓A的方程為（x+1）²+（y-2）²=20…．（4分）
（II） ①當直線l與x軸垂直時，易知x=-2符合題意…（5分）
②當直線l與x軸不垂直時，
設直線l的方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
連接AQ，則AQ⊥MN
∵MN=2

19

，∴AQ=

20-19

=1，…（6分）
則由AQ=

|k-2|

k2+1

=1，得k=

3

4

，∴直線l：3x-4y+6=0．
故直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0…（9分）
（III）∵AQ⊥BP，∴

BQ

•

BP

=(

BA

+

AQ

)•

BP

=

BA

•

BP

+

AQ

•

BP

=

BA

•

BP

…（10分）
①當l與x軸垂直時，易得P(-2， -

5

2

)，則

BP

=(0，-

5

2

)，又

BA

=(1，2)，
∴

BQ

•

BP

=

BA

•

BP

=-5…（11分）
②當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+2），
則由

y=k(x+2) x+2y+7=0

，得P（

-4k-7

1+2k

，

-5k

1+2k

），則

BP

=(

-5

1+2k

，

-5k

1+2k

)
∴

BQ

•

BP

=

BA

•

BP

=

-5

1+2k

+

-10k

1+2k

=-5
綜上所述，

BQ

•

BP

是定值，且

BQ

•

BP

=-5．…（14分）

點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，直線的一般式方程，圓的標準方程，其中（I）的關鍵是求出圓的半徑，（II）的關鍵是根據半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，求出弦心距（即圓心到直線的距離），（III）中要注意討論斜率不存在的情況，這也是解答直線過定點類問題的易忽略點．