Question

如圖，圓O的直徑AC=8cm，直線l與圓相切于點A，P為圓的右半圓弧上的動點，PB⊥直線l于B，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：以直線l所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，可得圓的方程為 x²+（y-4）²=16，（0＜y＜8）．設△PAB面積為S，則
S²=

1

4

x²•y²=2y³-

1

4

y⁴．利用導數求得S²的最大值，從而求得S的最大值．

解答：解：以直線l所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，
則圓心O為（0，4），且半徑為4，
圓的方程為 x²+（y-4）²=16，（0＜y＜8）．
故△PAB面積為S=

1

2

•AB•BP=

1

2

xy，∴S²=

1

4

x²•y²=

1

4

[16-（y-4）²]y²=2y³-

1

4

y⁴．
由于函數S²的導數為 （S²）′=6y²-y³，令 （S²）′=6y²-y³=0，可得y=6，
故當y=6時，S²取得最大值為108，故S的最大值為6

3

 （平方厘米）．

點評：本題主要考查求圓的標準方程，利用導數求函數的最值，屬于中檔題．