Question

（2013•閘北區二模）設y=f（x）為R上的奇函數，y=g（x）為R上的偶函數，且g（x）=f（x+1），g（0）=2．則f（x）=

2sin

π

2

x

．（只需寫出一個滿足條件的函數解析式即可）

Answer 1

分析：根據f（x）、g（x）的奇偶性可推出f（x）的周期，由f（x）的周期性、奇偶性即可找到滿足條件的一個函數．

解答：解：因為f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，
所以f（x+1）=g（x）=g（-x）=f（-x+1）=-f（x-1），
所以f（x+1）=-f（x-1），
令t=x+1，則x=t-1，所以f（t）=-f（t-2）=f（t-4），
所以f（x）是一個周期為4的周期函數，同時為奇函數，
而f(x)=2sin

π

2

x滿足條件，
故答案為：2sin

π

2

x．

點評：本題考查函數的奇偶性、周期性及函數解析式的求解，屬中檔題，解決本題的關鍵是運用函數的奇偶性推出函數f（x）的周期．