Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，設　f(x)＝a²x²－(a²－b²)x－4c².
(1)若　f(1)＝0，且B－C＝，求角C；                          
(2)若　f(2)＝0，求角C的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由　f(1)＝0，得a²－a²＋b²－4c²＝0，∴b＝2c  -----------2分
又由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC，
將其代入上式，得sinB＝2sinC       --------------------------4分
∵B－C＝ ∴B＝＋C，將其代入上式，得sin(＋C)＝2sinC
∴sincosC＋cossinC＝2sinC，     -----------------------------5分
整理得，sinC＝cosC          ------------------------- --------6分
∴tanC＝
∵角C是三角形的內角，∴C＝            ---------------8分
(2)∵　f(2)＝0，∴4a²－2a²＋2b²－4c²＝0，即a²＋b²－2c²＝0  ------9分
由余弦定理，得cosC＝   ------------10分
∴cosC＝≥＝ (當且僅當a＝b時取等號)  ---------------------11分
∴cosC≥，
∠C是銳角，又∵余弦函數在(0，)上遞減，∴0<C≤

解析