Question

（不等式選做題）不等式a²-3a≤|x+3|+|x-1|對任意實數x恒成立，實數a的取值范圍為

[-1，4]

．

Answer 1

分析：令f（x）=|x+3|+|x-1|，依題意，a²-3a≤f（x）_min，由絕對值不等式可知f（x）_min=4，從而解不等式a²-3a≤4即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：令f（x）=|x+3|+|x-1|，
∵不等式a²-3a≤|x+3|+|x-1|對任意實數x恒成立，
∴a²-3a≤f（x）_min，
又f（x）=|x+3|+|x-1|≥|x+3-（x-1）|=4，即f（x）_min=4，
∴a²-3a≤4，
解得-1≤a≤4．
∴實數a的取值范圍為[-1，4]．
故答案為：[-1，4]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查函數恒成立問題，求得f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值是關鍵，考查轉化思想與解不等式的能力，屬于中檔題．