Question

若函數f（x）=ax+blog₂（x+

x2+1

）+1在（-∞，0）上有最小值-3（a，b為非零常數），則函數f（x）在（0，+∞）上有最

 

值為

 

．

Answer 1

分析：先令g（x）=ax+blog₂（x+

x2+1

）判斷其奇偶性，再由函數f（x）=ax+blog₂（x+

x2+1

）+1在（-∞，0）上有最小值-3，得到函數g（x）在（-∞，0）上有最小值-4，從而有g（x）在（0，+∞）上有最大值4，則由f（x）=g（x）+1得到結論．

解答：解：令g（x）=ax+blog₂（x+

x2+1

）
其定義域為R，又g（-x）=a（-x）+blog₂（-x+

x2+1

）=-（ax+blog₂（x+

x2+1

））=-g（x）
所以g（x）是奇函數．
由根據題意：函數f（x）=ax+blog₂（x+

x2+1

）+1在（-∞，0）上有最小值-3
所以函數g（x）在（-∞，0）上有最小值-4
由函數g（x）在（0，+∞）上有最大值4
所以f（x）=g（x）+1在（0，+∞）上有最大值5
故答案為：5

點評：本題主要考查函數的構造進而研究性質，若看到x與-x這樣的信息，一般與函數的奇偶性有關．