Question

已知AC、BD為圓O：x²+y²=9的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，

3

)，則四邊形ABCD的面積的最大值為

14

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標為（0，0），半徑r=3，設圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，再由M的坐標，根據矩形的性質及勾股定理得到d₁²+d₂²=OM²，由M和O的坐標，利用兩點間的距離公式求出OM²，進而得到d₁²+d₂²的值，再由圓的半徑，弦心距及弦長的一半，由半徑的值表示出|AB|與|CD|的長，又四邊形ABCD的兩對角線互相垂直，得到其面積為兩對角線乘積的一半，表示出四邊形的面積，并利用基本不等式變形后，將求出的d₁²+d₂²的值代入，即可得到面積的最大值．

解答：解：∵圓O：x²+y²=9，
∴圓心O坐標（0，0），半徑r=3，
設圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
∵M（1，

3

），
則d₁²+d₂²=OM²=1²+（

3

）²=4，
又|AC|=2

r2-d12

=2

9 -d12

，|BD|=2

r2-d22

=2

9 -d22

，
∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AC|•|BD|
=2

(9- d 2 1 )(9- d 2 2 )

≤18-(

d

2 1

+

d

2 2

)=18-4=14，當且僅當d₁² =d₂²時取等號，
則四邊形ABCD面積的最大值為14．
故答案為：14

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，對角線互相垂直的四邊形面積的求法，以及基本不等式的運用，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．