Question

如圖，M（a，0）（a＞0）是拋物線y²=4x對稱軸上一點，過M作拋物線的弦AMB，交拋物線與A，B．
（1）若a=2，求弦AB中點的軌跡方程；
（2）若AB=8，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況進行討論：當AB斜率存在時，由a=2，設其方程為y=k（x-2），弦AB中點為（x₀，y₀），聯立直線與拋物線方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及中點坐標公式可用k表示x₀，y₀，消掉k可得軌跡方程；當AB斜率不存在時，易求弦中點坐標代入上述方程檢驗即可；
（2）當AB斜率不存在時，由AB=8易求a值；當AB斜率存在時，設其方程為y=k（x-a），代入拋物線方程得k²x²-（2ak²+4）x+a²k²=0，△＞0，由弦長公式可用k表示出弦長，由題意知關于k的方程|AB|=8的方程有解，換元后轉化為二次方程有正根，利用二次方程根的分布可得不等式，解出即可；

解答：解：（1）當AB斜率存在時，由a=2，設其方程為y=k（x-2），弦AB中點為（x₀，y₀），
由

y2=4x y=k(x-2)

得k²x²-4（k²+1）x+4k²=0，
△=16（k²+1）²-16k⁴=32k²+16＞0，則

x0= x1+x2 2 = 2k2+2 k2 =2+ 2 k2 y0= y1+y2 2 = 1 2 (kx1-2k+kx2-2k)= 2 k

，
消去k得y₀²=2x₀-4（x₀＞2）；
當AB斜率不存在時，其方程為x=2，與拋物線相交，中點為（2，0），滿足y²=2x-4．
綜上所述，弦AB中點的軌跡方程y²=2x-4．             
（2）當AB斜率不存在時，由AB=8，及拋物線的對稱性知，A點的縱坐標為-4，則橫坐標為4，故此時a=4；                                  7′
當AB斜率存在時，設其方程為y=k（x-a），代入拋物線方程得k²x²-（2ak²+4）x+a²k²=0，
△=4（ak²+2）²-4a²k⁴=16ak²+16＞0，

x1+x2= 2ak2+4 k2 x1x2=a2

，
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 1+k2 1+ak2

k2

，
則

4 1+k2 1+ak2

k2

=8有解，即方程（4-a）k⁴-（a+1）k²-1=0有解，
設t=k²（t＞0），f（t）=（4-a）t²-（a+1）t-1=0  （1），
對于正數a，方程（1）一根為正一根為負的充要條件是

4-a＞0 f(0)＜0

，得0＜a＜4；                           
對于正數a，方程（1）兩根均為正的充要條件是

△＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

，即

(a+1)2+4(4-a)＞0 a+1 4-a ＞0 -1 4-a ＞0

，矛盾無解．                                        
綜上所述，a的取值范圍是（0，4]．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡方程的求解、弦長公式及二次方程根的分布問題，綜合性強，運算量大．