Question

如圖，M（a，0）（a＞0)是拋物線y²=4x對稱軸上一點，過M作拋物線的弦AMB，交拋物線與A，B．

（1）若a=2，求弦AB中點的軌跡方程；

（2）過M作拋物線的另一條割線CMD（如圖），與拋物線交于CD，若AD與y軸交與點E，連ME，BC，求證：ME∥BC．

Answer 1

x=．

解析:

（1）當AB斜率存在時，由a=2,設其方程為    y=k(x－2)，弦AB中點為（x₀,y₀)

由得          

△=16（k²＋1)²－16k⁴=32k²＋16＞0

                  

消去k得y₀²=2x₀－4(x₀＞2)                                

當AB斜率不存在時，其方程為x=2，與拋物線相交，中點為（2，0），滿足y₀²=2x₀－4．

綜上所述，弦AB中點的軌跡方程y²=2x－4．             

（2）證明：設A（t₁²,－2t),B（t₂², 2t₂),C（t₃²,－2t₃),D（t₄²,－2t₄),其中t₁，t₂，t₃，t₄均為正數，

用兩點式求得AB的方程為 y(t₂－t₁)＋2t₁t₂=2x

CD的方程為y(t₄－t₃)＋2t₃t₄=2x                       

AB,CD都經過點M，故t₁t₂= t₃t₄=a，       

AD的方程為y(t₄－t₁)＋2t₁t₄=2x

AD與y軸交點為E（0，），k_ME=，而k_BC===           

∴k_ME=k_BC ，ME∥BC．