Question

用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，該長方體的最大體積是

3

．

Answer 1

分析：根據題意知，長方體的所有棱長和是18m，故可設出寬，用寬表示出長和高，將體積表示成寬的函數，用導數來求其最大值即可．

解答：解：設該長方體的寬是x米，由題意知，其長是2x米，高是

18-12x

4

=

9

2

-3x米，（0＜x＜

3

2

）
則該長方體的體積V（x）=x•2x•(

9

2

-3x)=-6x3+9x2，
由V′（x）=0，得到x=1，且當0＜x＜1時，V′（x）＞0；當1＜x＜

3

2

時，V′（x）＜0，
即體積函數V（x）在x=1處取得極大值V（1）=3，也是函數V（x）在定義域上的最大值．
所以該長方體體積最大值是3．
故答案為：3．

點評：本小題主要考查長方體的體積及用導數求函數最值等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．