Question

8．已知m∈R，函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|2x+1|，x＜1\\ ln（x-1），x＞1\end{array}$，g（x）=x²-2x+2m²-1，若函數y=f（g（x））-m有6個零點則實數m的取值范圍是$（0，\frac{3}{4}）$．

Answer 1

分析 令g（x）=t，由題意畫出函數y=f（t）的圖象，利用y=f（t）與y=m的圖象最多有3個零點，可知要使函數y=f（g（x））-m有6個零點，則t=x²-2x+2m²-1中每一個t的值對應2個x的值，則t的值不能取最小值，求出y=f（t）與y=m交點橫坐標的最小值，由其大于2m²-2，結合0＜m＜3求得實數m的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|2x+1|，x＜1\\ ln（x-1），x＞1\end{array}$ 的圖象如圖所示，

令g（x）=t，y=f（t）與y=m的圖象最多有3個零點，
當有3個零點，則0＜m＜3，從左到右交點的橫坐標依次t₁＜t₂＜t₃，
由于函數y=f（g（x））-m有6個零點，t=x²-2x+2m²-1，
則每一個t的值對應2個x的值，則t的值不能取最小值，
函數t=x²-2x+2m²-1的對稱軸x=1，則t的最小值為1-2+2m²-1=2m²-2，
由圖可知，2t₁+1=-m，則${t}_{1}=\frac{-m-1}{2}$，
由于t₁是交點橫坐標中最小的，滿足$\frac{-m-1}{2}$＞2m²-2①，
又0＜m＜3②，
聯立①②得0＜m＜$\frac{3}{4}$．
∴實數m的取值范圍是（0，$\frac{3}{4}$）．
故答案為：$（0，\frac{3}{4}）$．

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，屬于有一定難度題目．