Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，3AD＝DC＝3，AB＝2，E是DC上的點，且滿足DE＝1，連結AE，將△DAE沿AE折起到△D₁AE的位置，使得∠D₁AB＝60°，設AC與BE的交點為O.

(1)試用基向量

(2)求異面直線OD₁與AE所成角的余弦值；

(3)判斷平面D₁AE與平面ABCE是否垂直？并說明理由．

Answer 1

解：(1)∵AB∥CE，AB＝CE＝2，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為BE的中點．

(2)設異面直線OD₁與AE所成的角為θ，

，

∴cos θ＝.

故異面直線OD₁與AE所成角的余弦值為.

(3)平面D₁AE⊥平面ABCE.證明如下：

取AE的中點M，

又AE∩AB＝A，AE、AB⊂平面ABCE，

∴D₁M⊥平面ABCE.

∵D₁M⊂平面D₁AE，

∴平面D₁AE⊥平面ABCE.