Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）點M在線段EF上運動，設平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）證明線面垂直可以利用面面垂直進行證明，即若兩個平面垂直并且其中一個平面內的一條直線a與兩個平面的交線操作時則直線a與另一個平面垂直，即可證明線面垂直．
（2）建立空間坐標系，根據坐標表示出兩個平面的法向量，結合向量的有關運算求出二面角的余弦的表達式，再利用函數的有關知識求出余弦的范圍．

解答：解：（I）證明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3
∴AB²=AC²+BC²
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
（II）由（I）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直角坐標系，
令FM=λ(0≤λ≤

3

)，則C(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B（0，1，0），M（λ，0，1）
∴

AB

=(-

3

，1，0)，

BM

=(λ，-1，1)
設

n1

=(x，y，z)為平面MAB的一個法向量，
由

n1 • AB =0 n1 • BM =0

得

- 3 x+y=0 λx-y+z=0

取x=1，則

n1

=(1，

3

，

3

-λ)，
∵

n2

=(1，0，0)是平面FCB的一個法向量
∴cosθ=

| n1 • n2 |

| n1| •| n2 |

=

1

1+3+( 3 -λ)2 ×1

=

1

(λ- 3 )2+4

∵0≤λ≤

3

∴當λ=0時，cosθ有最小值

7

7

，
當λ=

3

時，cosθ有最大值

1

2

．
∴cosθ∈[

7

7

，

1

2

]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，以便于找到線面之間的平行、垂直關系，并且對建立坐標系也有一定的幫助，利用向量法解決空間角空間距離是最好的方法．