Question

設曲線y=2cos2x與x軸、y軸、直線x=

π

12

圍成的面積為b，若g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意，先用定積分求出b，再由g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，利用其導數在[1，+∞）上恒小于0建立不等式求出實數k的取值范圍．

解答：解：由題意b=

∫

π 12 0

2cos2xd_x=sin2x

|

π 12 0

=sin

π

6

=

1

2

∴g（x）=2lnx-x²-kx
∴g′（x）=

2

x

-2x-k
∵g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，
∴g′（x）=

2

x

-2x-k＜0在[1，+∞）上恒成立
即k＞ 

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立
∵

2

x

-2x在[1，+∞）上遞減，
∴

2

x

-2x≤0
∴k≥0
由此知實數k的取值范圍是[0，+∞）
故答案為：[0，+∞）．

點評：本題考查定積分在求面積中的應用，解題的關鍵是利用定積分求出b，再利用導數與單調性的關系將函數遞減轉化為導數值恒負，由此不等式恒成立求出參數的范圍，本題綜合性很強，需要多次轉化變形，運算量較大，解題時一定要注意變形正確，運算嚴謹，避免因變形，運算出錯．