Question

設曲線y=2cos2x與x軸、y軸、直線圍成的面積為b，若g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，則實數k的取值范圍是________．

Answer 1

[0，+∞）
分析：由題意，先用定積分求出b，再由g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，利用其導數在[1，+∞）上恒小于0建立不等式求出實數k的取值范圍．
解答：由題意b=2cos2xd_x=sin2x=sin=
∴g（x）=2lnx-x²-kx
∴g′（x）=
∵g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，
∴g′（x）=＜0在[1，+∞）上恒成立
即在[1，+∞）上恒成立
∵在[1，+∞）上遞減，
∴
∴k≥0
由此知實數k的取值范圍是[0，+∞）
故答案為：[0，+∞）．
點評：本題考查定積分在求面積中的應用，解題的關鍵是利用定積分求出b，再利用導數與單調性的關系將函數遞減轉化為導數值恒負，由此不等式恒成立求出參數的范圍，本題綜合性很強，需要多次轉化變形，運算量較大，解題時一定要注意變形正確，運算嚴謹，避免因變形，運算出錯．