Question

【題目】已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)與橢圓＋＝1的焦點重合，離心率互為倒數，設F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點，P為右支上任意一點，則的最小值為________．

Answer 1

【答案】8

【解析】

求出橢圓的離心率和焦點，從而得雙曲線的離心率，雙曲線的實半軸長，可得，由雙曲線的定義得PF1＝PF2＋2，這樣就可表示為的函數，于是可利用基本不等式求得最小值

設橢圓的長半軸長為a1，短半軸長為b1，半焦距為c，

則c＝＝＝2，

故橢圓的離心率e1＝＝，

從而雙曲線的離心率，可得a＝1，

根據雙曲線的定義有PF1－PF2＝2a，即PF1＝PF2＋2，

故＝＝＝PF2＋＋4，

由雙曲線的范圍可得PF2≥c－a＝1，

根據基本不等式可得PF2＋＋4≥2＋4＝8，

當且僅當PF2＝，

即PF2＝2時取“＝”，

所以的最小值為8.

故答案為：8．