Question

3．橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點分別為${F_1}，F(xiàn)_2^{\;}$，上、下頂點分別為B₁，B₂，右頂點為A，直線AB₁與B₂F₁交于點D．若2|AB₁|=3|B₁D|，則C的離心率等于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由2|AB₁|=3|B₁D|，得：$\frac{{|A{B_1}|}}{|AD|}=\frac{3}{5}$，根據(jù)三角形相似得：$\frac{a}{{a-{x_0}}}=\frac{3}{5}=\frac{b}{y_0}$，則${x_0}=-\frac{2}{3}a，{y_0}=\frac{5}{3}b$，代入即可求得e的值．

解答 解：如圖所示，設(shè)D（x₀，y₀），由2|AB₁|=3|B₁D|，得：$\frac{{|A{B_1}|}}{|AD|}=\frac{3}{5}$，
根據(jù)三角形相似得：$\frac{a}{{a-{x_0}}}=\frac{3}{5}=\frac{b}{y_0}$，求得：${x_0}=-\frac{2}{3}a，{y_0}=\frac{5}{3}b$，
又直線B₂F₁的方程為$\frac{x}{-c}+\frac{y}{-b}=1$
將點$D（-\frac{2}{3}a，\frac{5}{3}b）$代入，得：$\frac{{-\frac{2}{3}a}}{-c}+\frac{{\frac{5}{3}b}}{-b}=1，\frac{2}{3e}=1+\frac{5}{3}=\frac{8}{3}$，
∴$e=\frac{2}{3}×\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$．

故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查橢圓的離心率，考查三角形的相似的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．