Question

設(shè)函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f'（x）都是定義在R上的函數(shù)，則“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”是“?x∈R，|f'（x）|＜1”的（　　）

A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
C．充要條件	D．既不充分也不必要條件

Answer 1

由于f′（x）=

lim

△x→0

△y

△x

=

lim

(x2-  x 1)→0

f(x2)-f(x 1)

x2-x 1

，故|f′（x）|=

lim

(x2-  x 1)→0

|f(x2)-f(x 1)|

| x2-x 1|

．
由“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，可推出|f′（x）|＜1，
故成分性成立．
再由“?x∈R，|f′（x）|＜1”，可得“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”成立，
故必要性成立．
綜上可得，“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”是“?x∈R，|f′（x）|＜1”的充要條件，
故選C．