Question

（2012•福建模擬）設函數f（x）及其導函數f'（x）都是定義在R上的函數，則“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”是“?x∈R，|f'（x）|＜1”的（　　）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由前邊的命題成立能推出后邊的命題成立，由后邊的命題成立也能推出前邊的命題成立，由此可得結論．

解答：解：由于f′（x）=

lim

△x→0

△y

△x

=

lim

(x2-  x 1)→0

f(x2)-f(x 1)

x2-x 1

，故|f′（x）|=

lim

(x2-  x 1)→0

|f(x2)-f(x 1)|

| x2-x 1|

．
由“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”，利用函數的導數的定義，可推出|f′（x）|＜1，
故成分性成立．
再由“?x∈R，|f′（x）|＜1”，可得“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”成立，
故必要性成立．
綜上可得，“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”是“?x∈R，|f′（x）|＜1”的充要條件，
故選C．

點評：本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，函數的導數的定義，屬于基礎題．