Question

已知雙曲線x²－y²＝2的左、右焦點分別為F₁，F₂，過點F₂的動直線與雙曲線相交于A，B兩點．

(I)若動點M滿足(其中O為坐標原點)，求點M的軌跡方程；

(II)在x軸上是否存在定點C，使·為常數？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：由條件知，，設，． 　　解法一：(I)設，則則，，，由得 　　即 　　于是的中點坐標為． 　　當不與軸垂直時，，即． 　　又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得 　　，即． 　　將代入上式，化簡得． 　　當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程． 　　所以點的軌跡方程是． 　　(II)假設在軸上存在定點，使為常數． 　　當不與軸垂直時，設直線的方程是． 　　代入有． 　　則是上述方程的兩個實根，所以，， 　　于是 　　 　　 　　． 　　因為是與無關的常數，所以，即，此時＝． 　　當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，， 　　此時． 　　故在軸上存在定點，使為常數． 　　解法二：(I)同解法一的(I)有 　　當不與軸垂直時，設直線的方程是． 　　代入有． 　　則是上述方程的兩個實根，所以． 　　． 　　由①②③得．…………………………………………………④ 　　．……………………………………………………………………⑤ 　　當時，，由④⑤得，，將其代入⑤有 　　．整理得． 　　當時，點的坐標為，滿足上述方程． 　　當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程． 　　故點的軌跡方程是． 　　(II)假設在軸上存在定點點，使為常數， 　　當不與軸垂直時，由(I)有，． 　　以上同解法一的(II)．