Question

設函數f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）
（1）求導數f′（x）并證明f（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂；
（2）若不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用求導法則求出f（x）的導函數，令f'（x）=0考慮到判別式大于零得到兩個極值點，設x₁＜x₂，討論函數的增減性得到x₁是極大值點，x₂是極小值點；
（2）把x₁，x₂代入到f（x）中求出函數值代入不等式f（x₁）+f（x₂）≤0中，在利用根與系數的關系化簡得到關于a的不等式，求出解集即可．
解答：解：（1）f'（x）=3x²-2（1+a）x+a．
令f'（x）=0得方程
3x²-2（1+a）x+a=0．
因△=4（a²-a+1）≥4a＞0，故方程有兩個不同實根x₁，x₂
不妨設x₁＜x₂，由f'（x）=3（x-x₁）（x-x₂）可判斷f'（x）的符號如下：
當x＜x₁時，f'（x）＞0；
當x₁＜x＜x₂時，f'（x）＜0；
當x＞x₂時，f'（x）＞0
因此x₁是極大值點，x₂是極小值點．
（2）因f（x₁）+f（x₂）≤0，故得不等式x₁³+x₂³-（1+a）（x₁²+x₂²）+a（x₁+x₂）≤0．
即（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]-（1+a）[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+a（x₁+x₂）≤0．
又由（I）知
代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡得
2a²-5a+2≥0．
解不等式得a≥2或a≤（舍去）
因此，當a≥2時，不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立．
點評：考查學生求導數及利用導數研究函數極值的能力，靈活運用一元二次方程根與系數的關系解決數學問題的能力．