Question

定義：項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的數(shù)列，若奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，則稱該數(shù)列為“對偶數(shù)列”．
（1）若項(xiàng)數(shù)為20項(xiàng)的“對偶數(shù)列”{a_n}，前4項(xiàng)為1，1，3，，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式及20項(xiàng)的和；
（2）設(shè)項(xiàng)數(shù)為2m（m∈N^*）的“對偶數(shù)列”{a_n}前4項(xiàng)為1，1，3，，試求該數(shù)列前n（1≤n≤2m，n∈N^*）項(xiàng)的和S_n；
（3）求證：等差數(shù)列{a_n}（a_n≠0）為“對偶數(shù)列”當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列{a_n}為非零常數(shù)數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差數(shù)列，公差為2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比數(shù)列，公比為，a₂=1，由此能求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式及20項(xiàng)的和；
（2）1≤n≤2m，n∈N^*，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．
（3）設(shè){a_n}為等差數(shù)列，公差為d．若{a_n}為“對偶數(shù)列”，則a₂，a₄，a₆，…成等比數(shù)列，由此{(lán)a_n}為非零常數(shù)列．若{a_n}為非零常數(shù)列，則a₁=a₂=a₃=a₄=…，滿足“對偶數(shù)列”的條件，因此{(lán)a_n}為“對偶數(shù)列”．
解答：解：（1）由條件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差數(shù)列，公差為2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比數(shù)列，公比為，a₂=1．∴
即

（2）1≤n≤2m，n∈N^*，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．
（3）設(shè){a_n}為等差數(shù)列，公差為d．
若{a_n}為“對偶數(shù)列”，則a₂，a₄，a₆，…成等比數(shù)列，∴a₄²=a₂a₆，（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+5d），得出d=0，
所以{a_n}為非零常數(shù)列．
若{a_n}為非零常數(shù)列，則a₁=a₂=a₃=a₄=…，滿足“對偶數(shù)列”的條件，因此{(lán)a_n}為“對偶數(shù)列”．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．