Question

（2009•長寧區二模）定義：項數為偶數的數列，若奇數項成等差數列，偶數項成等比數列，則稱該數列為“對偶數列”．
（1）若項數為20項的“對偶數列”{a_n}，前4項為1，1，3，

1

2

，求該數列的通項公式及20項的和；
（2）設項數為2m（m∈N^*）的“對偶數列”{a_n}前4項為1，1，3，

1

2

，試求該數列前n（1≤n≤2m，n∈N^*）項的和S_n；
（3）求證：等差數列{a_n}（a_n≠0）為“對偶數列”當且僅當數列{a_n}為非零常數數列．

Answer 1

分析：（1）由條件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差數列，公差為2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比數列，公比為

1

2

，a₂=1，由此能求出該數列的通項公式及20項的和；
（2）1≤n≤2m，n∈N^*，當n為偶數時，Sn=

n 2 (1+n-1)

2

+

1-( 1 2 ) n 2

1- 1 2

=

n2

4

+2-2(

1

2

)

n

2

．當n為奇數時，Sn=

n+1 2 (1+n)

2

+

1-( 1 2 ) n-1 2

1- 1 2

=

1

4

(n+1)2+2-2(

1

2

)

n-1

2

．
（3）設{a_n}為等差數列，公差為d．若{a_n}為“對偶數列”，則a₂，a₄，a₆，…成等比數列，由此{a_n}為非零常數列．若{a_n}為非零常數列，則a₁=a₂=a₃=a₄=…，滿足“對偶數列”的條件，因此{a_n}為“對偶數列”．

解答：解：（1）由條件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差數列，公差為2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比數列，公比為

1

2

，a₂=1．∴an=

1+( n+1 2 -1)×2，n為正奇數 1×( 1 2 ) n 2 -1，n為正偶數

即an=

n，n為正奇數 2( 1 2 ) n 2 ，n為正偶數

(n∈N*且n≤20)

S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20) = 10(1+19) 2 + 1-( 1 2 )10 1- 1 2 =102-( 1 2 )9.

（2）1≤n≤2m，n∈N^*，
當n為偶數時，Sn=

n 2 (1+n-1)

2

+

1-( 1 2 ) n 2

1- 1 2

=

n2

4

+2-2(

1

2

)

n

2

．
當n為奇數時，Sn=

n+1 2 (1+n)

2

+

1-( 1 2 ) n-1 2

1- 1 2

=

1

4

(n+1)2+2-2(

1

2

)

n-1

2

．
（3）設{a_n}為等差數列，公差為d．
若{a_n}為“對偶數列”，則a₂，a₄，a₆，…成等比數列，∴a₄²=a₂a₆，（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+5d），得出d=0，
所以{a_n}為非零常數列．
若{a_n}為非零常數列，則a₁=a₂=a₃=a₄=…，滿足“對偶數列”的條件，因此{a_n}為“對偶數列”．

點評：本題考查數列與函數的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．