Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點，點在軸上，過點的直線交橢圓交于，兩點．

①若直線的斜率為，且，求點的坐標；

②設直線，，的斜率分別為，，，是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，.

【解析】

（1）利用橢圓的離心率為、過點以及建立方程組，求出和的值即可；

（2）①設出直線的方程，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理和，得出的值即可；②假設成立，設，分別討論直線的斜率是否為的情形，聯立直線與圓錐曲線的方程以及利用，解出的值，求出點坐標即可.

（1）橢圓的離心率為，且過點．

，解之得：，

橢圓的方程為：；

（2）設，，

①設直線的方程為：，

由，得：，

，故，

，，

，解得．

；

②，設，

（ⅰ）當直線的斜率為時，，，

由，可得，解得，即；

（ⅱ）當直線的斜率不為時，設，，

設直線的方程為，

由，得：

，．

由，可得，

，

，

，

，

當時，上式恒成立.

綜上，存在定點，使得恒成立．